习题 8, § 2

令$A$为环，$(S_\lambda)_{\lambda \in L}$为$A$和$M = \bigoplus_{\lambda \in L} S_\lambda^{-1}A$的乘法族子集。证明以下两个性质是等价的： ($a$)$M$ 是一个忠实的扁平 $A$ 模； ($\beta$) 对于$A$的每个最大理想$m$，都存在$\lambda \in L$使得$m \cap S_\lambda = \varnothing$。特别是，如果 $S$ 是 $A$ 的乘法子集，则仅当 $S$ 的元素可逆时，$A$ 模 $S^{-1}A$ 才是忠实平坦的，在这种情况下，$S^{-1}A$ 与 $A$ 进行标识。