习题 1, § 3

(a) 设 $A$ 为环，它不一定是可交换的，并且 $I$，（或 $I_d$）集合为 $A$ 的元素，它们没有左（或右）逆元。证明下列条件是等价的： (1)$I$、属于的两个元素到$I$的和； (2) $I$，是左理想； (3) 左理想$\#A$的集合中有最大的左理想$\mathfrak{J}$。如果这些条件成立，逆环$A^0$也满足这些条件，$I_1 = I_1 = \mathfrak{J}$，$\mathfrak{J}$是$A$的唯一最大（左或右）理想，因此$A$的雅各布森根式，每元素 $x \notin \mathfrak{J}$ 是可逆的，$A/\mathfrak{J}$ 是域（参见代数、章 VIII, § 6, no. 3）。那么我们也说$A$是局部环。

(b) 证明在局部环中除了 0 和 1 之外不存在幂等。