习题 13, § 3

设$G$为有限群，其阶$n$为素数数$p$的幂$p^f$和特征$p$的$K$域。

(a) 设$E$为$G$运算的有限集合 (\emph{代数}, 章 I, § 7, no. 2)；如果$E'$是$E$的元素的集合，并且对于所有$g \in G$都是不变的，则证明$\mathrm{Card}(E) \equiv \mathrm{Card}(E')$（模$p$）。推出，如果$G$不减少到单位元素$e$，$G$的中心$Z$不减少到$e$（使$G$通过内自同构对自身进行操作）。 结论 $G$ 可解 (\emph{代数}, 章 I, § 6, 习题 14)。

(b) Let $V$ be a vector space over $K$ and $\rho$ a homomorphism of $G$ to $\mathbf{GL}(V)$. 令$V'$为$x \in V$的集合，其在线性映射$\rho(g)$下不变，其中$g \in G$。 证明，如果$V'$减少到0，$V$必然减少到0。（如果$x \in V$和$x \neq 0$，将（a）应用于由元素$\rho(g)x$生成的$V$的加法子群$E$，其中$g \in G$。）

(c) 令 $A = K^{(G)}$ 为群 $G$ 与 $K$ (\emph{代数}, 章 111, § 1) 的代数，并令 $I$ 为向量子空间 $A$（超过$K$）由元素$1 - g$生成，其中$g \in G$。证明$I$是$A$的雅各布森根式，并且$A/I$与$K$同构的（使用（b）和雅各布森根式定义）；推出 $I$ 是幂零的。

(d) 令 $V$ 为有限生成的 $A$ 模，且元素 $x$ $V$ 的$V'$ 集合，使得$g.x = x$ 对于所有$g \in G$。证明下列不等式成立

() $\dim_K(V) \leq n \cdot \dim_K(V/IV)$; (**) $\dim_K(V) \leq n \cdot \dim_K(V')$。

（要建立 ()，请使用推论 2 到命题 4；通过考虑向量空间 $V$ 在 $K$ 上的对偶来推导出 (**)。）为了使不等式 ()（或 (*)）的两侧相等，$V$ 是自由的充分必要$A$-模块（cf.推论1至命题5）。