习题 14, § 3

令$A$为环，它不一定是可交换的，其雅各布森根$m$使得$A/m$为域，并且$M$是有限生成的自由$A$模。

(a) 设$M'$为另一个有限生成的自由$A$模块和$u : M \to M'$同态，使得$u(M)$为$M'$的直因子； 数$\dim(M)$称为$u$的\emph{秩}，记为$\mathrm{rg}(u)$。对于这样的同态$\mathrm{Ker}(u)$是$M$和$\mathrm{rg}(u) = \dim(M) - \dim(\mathrm{Ker}(u))$中的直因子；对于 $u$ 是单射（或满射），$\mathrm{rg}(u) = \dim(M)$（或$\mathrm{rg}(u) = \dim(M')$）是必要且充分的。 转置${}^t u$使得${}^t u({M'}^*)$是$M^*$和$\mathrm{rg}({}^t u) = \mathrm{rg}(u)$中的直因子。