习题 2, § 3

(a) 设 $A$ 为（可交换的）局部环，其最大理想 $m$ 为主，并且使得 $\bigcap_{n \geq 1} m^n = 0$ (cf. 章 III, § 3, no. 2，命题 4 的推论)。证明$A$的唯一理想$\neq 0$和$\#A$是幂$m^n$；推断 $A$ 是诺特并且是 * 离散估值环 (章 VI)* 或准本金环，其中 1 是不可分解的幂等 (代数, 章 VII, § 1、习题 6)。

(b) 令$A$为实值函数的点$t = 0$处的细菌的环，在0的邻域中定义且连续且在点0处可微（一般拓扑、章 I，第三版，§ 6, no. 10）。证明$A$是局部环，其最大理想$m$是由所有$n$的函数$j : t \mapsto t ; m^n \neq 0$的胚芽生成的，但$A$不是主理想整环。如果$c$是函数$t \mapsto \exp(-1/t^2)$的萌芽，并且$p$是$A$的素理想而不是包含$c$，则证明商环$B = A/p$是局部整环，而不是整环主理想整环，其中最大理想是主要的。