习题 14, § 4

令$A$为环，$X = \operatorname{Spec}(A)$其谱，$P$集合为$A$的最小素理想。

(a) 令$R \{ p, p' \}$为对称且自反的关系：“在$P$的元素$p, p'$之间存在$A$包含$p + p'$的素理想$p$”；设$S$为等价关系，其图是等价包含图的最小的和$R$的图（集合理论，章II, § 6，习题10）。证明，如果 $I$ 相对于 $S$ 是等价类，则集合 $V_I = \bigcup_{p \in I} V(p)$ 是连通的。

(b) 证明，如果 $P$ 是有限的（特别是如果 $A$ 是诺特），则 $V_I$ 是 $X$ 的连通分量。在 $P$ 为无穷大 (cf. 习题 12) 的情况下，这会导致扩展吗？