习题 19, § 4

(a) 设$\phi : A \to B$为环同态。证明，对于 $B$、$\overline{\phi(V(b))} = V(\phi^{-1}(b))$ 的每个理想 $b$。

(b) 从 (a) 推导出，要使 $^a\phi(\operatorname{Spec}(B))$ 在 $\operatorname{Spec}(A)$ 中稠密，$\operatorname{Ker}(\phi)$ 是 $A$ 的零理想是充分必要的。

(c) 证明，如果每个$b \in B$都可以写成$b = h\phi(a)$，其中$h$在$B$和$a \in A$中可逆，$^a\phi$是$\operatorname{Spec}(B)$到$\operatorname{Spec}(A)$的子空间的同胚。