习题 11, § 5

令$K$为特征$\neq 2$的域；考虑偶数次数 $\geqslant 2$ 的多项式 $g(X) \in K[X]$，其所有根不同（在 $K$ 的代数闭扩张中）和满足 $g(0) \neq 0$。 集合$B = K[X]$,

其中$f(X) = Xg(X)$。

(a) 设$y$为$A$中$Y$的类。证明每个$a \in A$都可以唯一地写成形式$a = P + yQ$，其中$P$和$Q$在$B$中。设$\bar{a} = P - yQ$和$N(a) = a \bar{a} = P^2 - f Q^2$。证明关系$N(a) = 0$蕴涵$a = 0$；推出$A$是整环。证明$A$的可逆元是$K$的元素$\neq 0$。

(b) 令$m$为$A$的理想$AX + Ay$；表明 $m$ 是最大的，并且 $A_{m}$ 的理想 $m_m$ 由 $y$ 生成（$X = y^2 / g(X)$ 的注）。推断 $m$ 是可逆的 $A$ 模（使用定理 1）。表明 $m^2 = AX$；推出$m$不是$A$的主理想，并且$A$的分数的域中的可逆$A$模的类的群不会减少到单位元素。 （如果$m = At$，则$X = \lambda t^2$，其中$\lambda \in K$，从而$\lambda^{-1}X = P^2 + f Q^2$，其中$P \in B$和$Q \in B$；证明这样的关系是不可能的。）