习题 12, § 5

令$A$为环，$I$为$A$模块，$B$唯一的环，其基础加法群为$A \oplus I$，$A$为$B$和$I$的子环零平方的理想，其由标量的限制获得的$A$模块结构是给定的结构 (代数, 章 II, § 1, 习题 7)。

(a) 假设$I$的某些元素$\neq 0$的$A$属于到湮没子的每个不可逆元素。证明$B$中的每个元素不是0的除子都是可逆的，在其他字中$B$等于其分数的总环。

(b) 令$(m_\lambda)_{\lambda \in L}$为$A$的极大理想族，使得$A$属于的每一个不可逆理想都至少有一个$m_\lambda$。证明，如果将$I$取为$A$-模块$A/m_\lambda$的直和，则满足条件(a)。

(c) 从(b)推导出，如果存在秩 1 的非自由射影$A$模，则可以选择$I$使得$B$等于分数的总环，但存在秩 1 的非自由射影$B$模（这个模必然是不可逆的，因为$B$是$B$唯一的非退化子$B$模块）。

(d) 假设$A$中存在最大理想$m$，使得对于所有$x \in m$，存在$A$包含$x$的最大理想$m' \neq m$。 If $I$ is taken to be the $A$-module the direct sum of the $A/m'$, where $m'$ runs through the set of maximal ideals of $A$ distinct from $m$, the corresponding ring $B = A \oplus I$ is equal to its total ring of fractions; if we write $n = m \oplus I$, which is a maximal ideal of $B$, show that $B$, is isomorphic to $A_{m'}$; if $A$ is an integral domain (necessarily not a field by hypothesis), $B$, is then an integral domain distinct from its field of fractions. 如果进一步$mA_m$是整环$A_{m'}$的主要理想，则表明$B$的理想$mB = m \otimes_A B$是秩1的非自由简并射影$B$模。（我们将在章VII中看到存在戴德金域$A$，其中存在最大理想$m$，其中幂均不是主理想；对于这样的环$A$，前面的所有假设都满足。）