习题 17, § 5

设 A 为环，P 为忠实有限生成射影 A-模。

(a) 证明 A-代数 $B = \mathrm{End}_A(P)$ 是 Azumaya 代数。 （首先观察 A-模 B 与 $P \otimes_A P^*$ 同构的，因此是有限呈现的，然后使用 , no. 7, 命题 19。）

(b) 证明 P 是左射影B-模（使用定理 1 (d) 和§ 3、习题 8 (c)）。

(c) 设$P'$为另一个忠实有限生成射影A-模。证明 $P \otimes_A P'$ 是忠实的有限生成射影 A-模，并且 $\mathrm{End}_A(P \otimes_A P')$ 与 $\mathrm{End}_A(P) \otimes_A \mathrm{Eng}_A(P')$ 被规范地等同（使用定理 1 (e)、§ 2, no. 7、命题 18 和 19 以及 § 3, no. 3、定理 1）。考虑 $P'$ 为秩 1 的情况。