习题 21, § 5

设 A 为环，n 整数 $\geqslant 0$。

(a) 证明 $F^n$ 同构于 $A^n$ 的 A-模 F 是秩 1 的射影，并且它们在 $P(A)$ 形式子群 $P_n(A)$ 中的类每元素是被$n$消灭。 （要显示第一个断言、§ 2, no. 2 的应用命题 5；对于第二个，观察$\wedge^n F^n$ 和 $\bigotimes^n F$ 是规范同构的。）

(b) 令$\mathrm{Aut}_n(A)$为矩阵$\mathbf{M}_n(A)$的$A$代数的自同构的群，并令$\mathrm{Int}_n(A)$为$\mathbf{M}_n(A)$的内自同构的子群。证明商群 $\mathrm{Aut}_n(A)/\mathrm{Int}_n(A)$ 与 $P_n(A)$ 同构（使用习题 20 与 代数, 章 VIII, 的 $P = P' = A^n$ 或习题 9）。推出，如果$A$是半局部环或主理想整环，则

\* (c) 如果$A$是戴德金定义域，则证明$P_n(A)$与被$n$湮没的元素的$P(A)$由……组成的子群相同。