习题 7, § 2

设A为E的交换环，E A-模，F子模，B为F的元素B中典范像生成的外部代数$\mathbf{A}(E)$和$\mathfrak{z}$B的两侧理想。令gr$^\mathfrak{z}$(B)为分级环与通过$\mathfrak{z}$-adic 过滤过滤的环 B 相关。

(a) 定义满射规范（非分级）A-代数同态 $(\mathbf{A}(F)) \otimes_A^\mathfrak{g} (\mathbf{A}(E/F)) \to \mathrm{gr}^\mathfrak{z}(B)$（其中我们指的是分级代数（代数，章 111）的偏斜张量积）。

(b) 证明，如果F 承认E 中的补集，则(a) 中定义的同态为同构。

(c)取$A = \mathbf{Z}, E = 2/42, F = 22/42$；表明在这种情况下，A 中定义的同态不是单射的。