习题 1, § 3

(a) 设$K$为特征$p > 0$的交换域，形式为幂级数的$B$环，其中$K$中的系数位于两个无限系统的不定数$(X_n), (Y_n)$中，仅具有有限个给定次数的项数 ($§ 2$, 习题 12)； $B$ 是 Hausdorff 局部环，其中 $n$-adic 拓扑，$m$ 是其最大理想。令$b$为$B$的封闭理想，由$i \geq 0, 0 \leq j \leq i$的单项式$Y_i X_j$生成；令$A$为局部环$B/b$，这是具有$n$进数拓扑的Hausdorff，其中$n = m/b$是其最大理想。令$c$为$A$的元素等于类 mod。 $b$共$\sum_{n=1}^\infty X_n^{p^n}$；表明，对于 $k \geq 3$、$n^k n (Ac) \not\subset n^2 c$（和更不必说关系

不能按住）。

(b) 设$C'$为交换环，基础集合$A \times A$，乘法$(a, x)(a', x') = (aa', ax' + a'x)$；令 $C$ 为 $C'$ 的子环 $A \times (Ac)$； $C$和$C'$是局部环，其最大理想我们用$r$和$r'$表示，$C'$是有限生成的$C$模。证明 $r = r' n C$ 但由 $r'$-adic 拓扑在 $C$ 上诱发的拓扑不是 $r$-adic 拓扑。