习题 22, § 3

(*) 设$A$为环，无论是否可交换；所有要考虑的$A$模块都剩下$A$模块。令$P$为性质，这样： (α) 如果$f : M \to N$是单射$A$模同态且$N$有性质$P$，则$M$有性质$P$； (β) 具有性质 $P$ 的两个 $A$ 模块中的直和有性质 $P$。

(a) 设$M$为$A$模块。证明 $M$ 的子模 $M'$，使得 $M/M'$ 具有性质 $P$ 形式邻域的基本系统为 0，对于线性拓扑 $\mathscr{T}_P(M)$ $M$。证明$\mathscr{T}_P(A_s)$与$A$上的环结构兼容，并且$M$与拓扑$\mathscr{T}_P(M)$是$A$与$\mathscr{T}_P(A_s)$的拓扑模。每个$A$-模块同态$f : M \to N$都与拓扑$\mathscr{T}_P(M)$和$\mathscr{T}_P(N)$连续。

(b) 假设以下条件成立： (γ) 如果$N$是$M$的子模，并且性质$P$，并且对于$M$的每个子模$L \neq 0$，$N \cap L \neq 0$，则$M$有性质$P$。证明使用这些条件，如果$F$是$A$模块$E$的子模，则拓扑$\mathscr{T}_P(F)$由$\mathscr{T}_P(E)$诱导。 （令$F'$为$F$的子模，使得$F/F'$有性质$P$；考虑极大元素$G$在$E$的子模中，使得$G \cap F = F'$并证明$E/G$ 有性质 $P$。）