习题 1, § 4

令 A 为交换环，它是 Hausdorff，并完成过滤$(\mathfrak{a}_n)_{\geq 0}$，使得$\mathfrak{a}_0 = A$。令 M、M'、N 为三个 A-模，每个都具有由 A 上的过滤引起的过滤以及由该过滤定义的拓扑；我们写$\overline{M} = M/\mathfrak{a}_1 M, \overline{M}' = M'/\mathfrak{a}_1 M', \overline{N} = N/\mathfrak{a}_1 N$。令 $f : M \times M' \to N$ 为双线性映射，而 $\tilde{f} : \overline{M} \times \overline{M}' \to \overline{N}$ 为 $(A/\mathfrak{a}_1)$ 双线性映射，通过商从 $f$ 导出。令$y \in N, \bar{x} \in \overline{M}, \bar{x}' \in \overline{M}'$满足： (1) $\tilde{f}(\bar{x}, \bar{x}')$是$\overline{N}$中$y$的类$\bar{y}$； (2) $\overline{N}$的每一个元素可写为

其中 $\bar{z} \in \overline{M}$ 和 $\bar{z}' \in \overline{M}'$。证明，如果 N 是 Hausdorff 并且 M 和 M' 是完备的，则存在 $x \in \bar{x}$ 和 $x' \in \bar{x}'$，使得 $f(x, x') = y$（通过归纳进行论证，如 Hensel 的引理的证明所示）。 $x$和$x'$是在什么条件下唯一确定的？