习题 5, § 4

令 $A$ 为 Henselian 局部环，$B$ 一个（不一定可交换的）$A$ 代数，它是有限生成的 $A$ 模，$b$ $B$ 的双面理想，并设 $\overline{B} = B/b$。

(a) 证明$\overline{B}$中的每个幂等$\varepsilon$都是$B$中幂等的典范像（约化对于可交换情况，考虑由单个元素生成的$B$的子代数）。

(b) 令 $(\varepsilon_n)_{n \geq 1}$ 为元素 $\overline{B}$ 的无限序列，使得

对于指标$(i, j)$中的每有序对。证明 $B$ 中存在幂等的正交序列 $(e_n)_{n \geq 1}$，使得对于所有 $n$，$\varepsilon_n$ 是 $e_n$ 的典范像。 （用归纳如*代数*、章VIII, § 6、习题10进行论证；观察到，如果$e, e'$是$B$的两个幂等，那么$ee' = 0, e' - e'e = e''$是一个幂等，使得$ee'' = e''e = 0$。）

(c) 现在假设 b 是 B 的雅各布森根。令 n 为整数和 $(\varepsilon_{ij})\ (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n)$ $\overline{B}$ 的元素族，使得 $\varepsilon_{ij}\varepsilon_{hk} = \delta_{jh}\varepsilon_{ik}$ 和 $1 = \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_{ii}$。证明 B 中存在一个族 $(e_{ij})\ (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n)$，使得 $e_{ij}e_{hk} = \delta_{jh}e_{ik}$ 和 $1 = \sum_{i=1}^{n} e_{ii}$，并且对于指标的每个有序对，$\varepsilon_{ij}$ 是 $e_{ij}$ 的典范像。 （使用 (b)、代数、章 VIII, § 6 中的习题 11、代数、章 VIII, § 1 中的习题 9。）推导出，如果 $\overline{B}$ 同构于矩阵环$M_r(\overline{D})$，其中$\overline{D}$不一定是交换域，则 B 同构于矩阵环$M_r(D)$，其中 D 是A-代数，即有限生成A-模，其雅各布森根式$\mathfrak{d}$使得 D/b 同构至 $\overline{D}$（cf. 代数、章 VIII, § 1、习题 9 和 3）。证明，如果进一步 B 是 A 上的 Azumaya 代数 (章 11, §5, 习题 14)，则 D 也是。