习题 21, § 2

让$A$轴承，$F$$A[X]$的一元多项式，$B$环$A[X]/F.A[X]$，$m$$A$的最大理想，$k = A/m$域和$\overline{F}$的商$k[X]$ 中的$F$ 典范像。

(a) 设$\overline{F} = \prod_{i=1}^n f_i^{e_i}$，其中$f_i$是$k[X]$的不同不可约多项式。令$F_i \in A[X]$为一元多项式，使得$k[X]$中的典范像为$f_i$。令$\mathfrak{M}_i$表示$B$的理想$mB + F_i.B$；表明 $\mathfrak{M}_i$ 是不同的，并且是 $B$ 包含 $mB$ 的唯一最大理想（注 $B/mB$ 是有限秩的代数超过由根生成的 $A/m = k$） $\overline{F}$）。

(b) 对于所有 $i$ 让我们写 $\Omega_i = mB + F_i^{e_i}.B$。证明 $\Omega_i$ 是 $B$ 中的$\mathfrak{M}_i$-主，$mB = \Omega_1 \cap \cdots \cap \Omega_n = \Omega_1 \Omega_2 \cdots \Omega_n$。

(c) 对于 B 为局部环，A 为局部环并且$\overline{F}$ 为 $k[X]$ 不可约多项式的幂是充分必要的。