习题 22, § 2

设 E 为 E 的 A-模，F 子模。 (a) 设 p 为 A 的素理想，A 的 $a$ 元素，使得 $a \notin p$ 和 $Q = F : (a)$ 是 E 中的 p 初等。证明 $F = Q \cap (F + aE)$。 (b) 假设存在$b \in A$和$x \in E$，使得$b^n x \notin F$对于所有$n > 0$。证明，如果存在整数$n > 0$使得$F : b^{n+1} = F : b^n$，则$F = (F + Ab^n x) \cap (F : (b^n))$。 (c) 假设 F 对于 E (代数, 章 II, § 2, 习题 16) 是*不可约*，并考虑以下三个性质： $(\alpha)$ F 在 E 中是主要的。 $(\beta)$ 对于 A 的每个素理想 p，对于某些 $a \notin p$，F 相对于 E 中 p 的饱和度为形式 $F : (a)$。 $(\gamma)$ 对于所有 $b \in A$，序列 $(F : (b^n))_{n \geq 1}$ 都是平稳的。 证明条件 $(\beta)$、$(\gamma)$ 都蕴含 $(a)$（使用 (a) 和 (b) 以及习题 18 (a)）。如果 E 是有限生成的，则三个条件 $(a)$、$(\beta)$ 和 $(\gamma)$ 是等价的（cf. 习题 20 (b) 和 20 (c)）。 (d) 令K为域，A环$K[X, Y]$，m为A的最大理想$AX + AY$；表明理想的$m^2$是主要的但不是不可约的。 (e) 设 A 不一定是交换环，E 左诺特的A-模。证明 E 的每个子模 F 都是 E 中不可约子模有限族的交（考虑 E 的子模，它是不可约子模的有限交中最大的）。 (f) 从(e)和(c)推导出no. 2的定理1的新证明。