习题 29, § 2

设 A 为强拉斯克环 (习题 28)。

(a) 设a、b为A的两个理想，ab = \bigcap_{i=1}^{n} q_i，A中ab的约化初等分解和那些q_i的根式不包含 b的c 交；表明 a \子集 c （如果 q_i 是其根式 p，而不是包含 b 和 x \in b 和 x \notin p_i，考虑乘积 ax）。

(b) 由(a)推导出存在三个理想 a'、b'、c 和整数 s > 0，使得 a^s \子集 a'、b^s \子集 b'、(a + b)^s \子集 c 且

ab = a' \cap b = a \cap b' = a \cap b \cap c。

(c) 证明对于 A 理想的每个有限族 (a_k)，都存在整数 m > 0 使得 \bigcap_k a_k^m \子集 \prod_k a_k （应用 (b) 由归纳论证理想 a_k 的数）。

(d) 对于 A 的每个理想 a，证明交 b = \bigcap_{n=1}^{\infty} a^n 是 x \in A 的理想值，使得 x \in xa （将 (b) 应用于乘积 (Ax)a）。推断 b 是 {0} 的主要成分的交（对于 {0} 的约化初等分解），其根部满足 1 + a。

(e) 从 (d) 推导出，对于 A 的每个素理想 p，n \in \mathbf{N} 的符号幂 p^{(n)} (习题 18 (b)) 的交是那些 x \in A 的理想，使得 x \in xp （考虑环 A_p）。