习题 32, § 2

如果环 A 是局部环并且其最大理想 m 是零理想 (*)，则它被称为 primary。 m 中包含的 A 的每个理想在 A 中都是 m 主的。

(a) 令 A 为强拉斯克原初环，因此最大理想 m 是幂零的。证明，如果a、b 是m 中包含的两个理想，则必然$a : b \neq a$（使用习题 30 (b)）。

(b) 主要诺特环是阿廷的。推出，对于诺特环A上的每个有限生成模M和M的每个p主子模N，存在整数m，使得M/N的子模的每个严格递减序列$(M_i/N)_0 \leq i \leq k$其M_i p-primary 具有长度 $k \leq m$（考虑 A,-模 $M_p$ 和注，$M_p/N_p$ 被 $pA_p$ 的幂湮灭）。

(c) 证明每个素理想$\neq \{0\}$最大的阿廷环 A 是主环的有限数的直合成。