习题 1, § 1

设 d 为 $\mathbf{Z}$ 中不可被平方整除的有理数整数。证明域 $K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})$ 的元素在 $\mathbf{Z}$ 上积分，是形式 $a + b\sqrt{d}$ 其中 $a \in \mathbf{Z},\ b \in \mathbf{Z}$ if $d - 1 \not\equiv 0 \pmod{4}$ 和元素 $(a + b\sqrt{d})/2$ 其中 $a \in \mathbf{Z},\ b \in \mathbf{Z}$、$a$ 和$b$ 均为偶数或 $a$ 和 $b$ 均为奇数，如果 $d - 1 \equiv 0 \pmod{4}$ (cf. 代数, 章 VII, § 1, 习题 8)。推断$A = \mathbf{Z}[\sqrt{5}]$不是积分闭集，并给出$\mathbf{Q}[\sqrt{5}]$的元素的例，它在$A$上积分，但其在$A$的分数的域上的最小多项式在$A$中没有系数。