习题 12, § 1

令 A 为复变量的积分函数（具有复数值）的环。 分数的域是复变量的亚态函数的域，是整环。

(a) 证明 A 是完全积分闭的。 (b) 对于所有$x \in A$，令$Z(x)$为$x$的零的集合（这是$\mathbf{C}$的闭子集，如果$x \neq 0$，它是离散的（因此可数））。如果 $a$ 是 A 的理想，与 A 和 (0) 不同，则表明 $x \in a$ 形式的 $Z(x)$ 是一个过滤器基 $\mathscr{F}_a$。 （如果$x$和$y$是公共的中没有零的两个整数函数，则使用Mittag-Leffler定理表明可以写成$1/xy = u/x + v/y$，其中$u$和$v$在A中，并且推断出$Ax + Ay = A$）。相反，对于$\mathbf{C}$上的每个滤波器$\mathscr{F}$，其中$\mathbf{C}$属于、集合$a(\mathscr{F})$的闭离散子集为$x \in A$，其中$Z(x) \in \mathscr{F}$是A的理想。证明$\mathscr{F}_{a(s)} = \mathscr{F}$为每个过滤器 $\mathscr{F}$ 对于不同于 A 和 (0) 的 A 的每个理想 $a$，都有 $\mathbf{C}$ 属于和 $a(\mathscr{F}) \supseteq a$ 的闭合离散子集。 (c) 如果 $p \neq (0)$ 是 A 的素理想，则证明 $\mathscr{F}_p$ 是超滤器。 （将其限制为$\mathscr{F}_p$的所有集合都是无限的情况，表明，如果$M \in \mathscr{F}_p$是两个无限集合$M', M''$中的并，且公共的中没有点，则其中集合之一属于到$\mathscr{F}_p$。）相反，对于$\mathbf{C}$上的每个超滤器$\mathscr{U}$，其闭离散子集为$\mathbf{C}$属于，$a(\mathscr{U})$是A的最大理想；获得逆命题。 (d) 设$\mathscr{U}$为$\mathbf{C}$上的超滤器，典范嵌入$\mathbf{Z} \to \mathbf{C}$下的像为$\mathbf{Z}$上的非平凡超滤器。证明存在 A 的非极大素理想 $p$ 使得 $\mathscr{F}_p = \mathscr{U}$。 （对于所有$x \in a(\mathscr{U})$和所有$n \in \mathbf{Z}$，令$\omega_x(n)$在点$n$处为$x$的阶（$\omega_x(n) = 0$如果$x(n) \neq 0$）；考虑集合$p$ $x \in a(\mathscr{U})$使得$\lim_n \omega_x = +\infty$。） (e) 对于(d)的记号，令m为最大理想$a(\mathscr{U})$。证明域 $A_{m'}$ 不是完全全闭的（考虑亚纯函数 $1/(\sin \pi z)$）。 \*