习题 13, § 1

设 A 为局部整环，K 为分数的域。考虑以下两个属性： (i) A 是 Henselian (章 111, § 4, 习题 3)。 (ii) 对于 K 的每个有限扩张 L，L 中 A 的积分闭包 A' 是局部环。 证明 (i) 蕴含 (ii)，并且如果 A 是积分闭的，逆命题为真。 （要看出 (i) 蕴含 (ii)，注 A' 是有限 A-代数的右有向族的并，并使用亨塞尔环的定义。要看出 (ii) 蕴含 (i) 如果 A 是积分闭集，请证明，如果 $P \in A[X]$ 是不可约单调多项式且$f : A \to k$ 是 A 的典范同态到其剩余类域 $k$，$f(P)$ 在 $K[X]$ 中不可约，并考虑域 $L = K[X]/(f)$。） 如果满足条件(ii)，则K的任意扩张中A的积分闭包A是局部环。考虑完整 Hausdorff 局部环的情况；如果 A 是完全 Hausdorff 诺特局部环，则 A' 中包含的每个 A-代数并且有限生成A-模都是完全 Hausdorff 局部环。