习题 20, § 1

令$K_0$为特征$p > 0$的完美域，有理函数$K_0(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$的$K$域和形式幂级数$K[[Z]]$的$B$环，其中$Z$ 是不定数；如果$m$是$B$的最大理想，则$B$是Hausdorff并且与$m$进数拓扑完整，并且是离散评估环。令$L = K((Z))$为$B$和$E$的分数的域，由$L^p$和元素、$Z$和$X_n$生成$L$的子域（对于$n \in \mathbf{N}$）。

(a) 证明$L$的元素$c = \sum_{n=0}^\infty X_n Z^n$不属于到$E$。

(b) Let $E$ be a maximal element of the set of subfields of $L$ containing $E$, and not containing $c$; we write $A = B \cap E$. 证明$A$是离散估值环（因此诺特），其分数的域是$E$；如果$m'$是$A$的最大理想，则${m'}^k = m^k \cap A$和$A$在$B$中稠密，具有$m$进数拓扑； $L = K(c)$是次数$p$的$K$的扩张，$B$是$L$中$A$的积分闭包，但$B$不是有限生成的$A$模块（使用章 111、§ 3、习题 9 (b))。 \*