习题 11, § 2

(a) 设$A$为局部积分闭域，$m$为极大理想，$K$为分数的域，$K'$为$K$的有限伽罗瓦扩张，$A'$为$A$的积分闭域$K'$、$m'$ $A'$ 的最大理想位于$m$、$B = A^z(m')$、分解、环和$n = m' \cap B$。对于每个整数 $k > 0$，$B = A + n^k$（如命题 4 中的论证）。此外，存在$K^z$的原语元素$z$（$B$的分数的域）使得$z \in n$；推导出$n \cap A[z] = mA[z]$。

(b) 证明，对于每个整数 $k$，$m^kB_n \cap A = m^k$。 （如果$x \in m^kB_n \cap A$、注存在$t \in A[z]$（其中$z$在(a)中定义）使得$t \notin n$和$tx \in m^kA[z]$；写成$t = t_0 + t_1z + \cdots + t_{r-1}z^{r-1}$（其中$r$是次数$[K^z : K]$），推导出 $t_0x \in m^k$ 和 $t_0 \notin m$。）

(c) 现在假设$K$是$K$中的任意伽罗瓦扩张。保持与上面相同的记号，证明$B = A + n^k$和$m^kB_n \cap A = m^k$仍然（注，$A^z(m')$的每个元素都包含在$m' \cap C$的分解环中，其中$C$是积分闭包） $A$ 在 $K'$ 的有限伽罗瓦子扩展中）。

(d) 在(c)的假设下，证明如果$A$是诺特，则$B$也是。 （观察到，$B_n$相对于$m$进数拓扑的豪斯多夫完备性通过（c）与$A$的完备性$\hat{A}$一致；如果$\phi : B_n \to \hat{A}$是典范同态，则表明，对于每个理想的$a$ $B_n$，$\phi(a\hat{A}) = a$，利用$\hat{A}$中每个理想都是有限生成的事实，因此$a\hat{A}$是由$a$的元素的有限数生成的，因此约化是$K'$是有限的情况扩张共 $K$。）