习题 14, § 2

(a) 令$A$为域$K$中的子环和$x$元素$\neq 0$中$K$。证明，如果 $x$ 不是 $A$ 的积分，则存在 $A[x^{-1}]$ 的最大理想，其中包含 $x^{-1}$ 并且，对于 $A[x^{-1}]$ 包含 $x$ 的每个最大理想 $m$，理想 $A \cap m$ 是最大的在$A$中（注意$x$不属于到环$A[x^{-1}]$）。

(b) 令$A$为局部整环，$m$为其最大理想，$K$域包含$A$和$A$的$k$剩余类域。 令$x \in K$使得$x \notin A$并假设$A$在环$A[x]$中积分闭。 证明存在 $A$-代数同态 $A[x] \to k[X]$，其中扩展典范同态 $A \to k$ 以及映射 $x$ 到 $X$。 （需要证明的是，如果$\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0$，其中$a_i \in A$为所有$i$，则所有$a_i$属于到$m$。 否则就会有关系$a_n x^{n-p} + \ldots + a_p = -(a_{p+1} x^{-1} + \ldots + a_0 x^{-p})$，其中$a_p$在$A$中可逆； § 1的利用习题 5，证明属于到$A$两侧的公共的值$b$，并利用(a)证明必然$b \in m$； 结论 $x^{-1}$ 将是 $A$ 的整数，这是荒谬的。）

(c) 在(b)的假设下，证明$A[x]$的理想$mA[x]$是素数而不是极大值。