习题 10, § 3

令$k$为域、$L$无限集合和$A$多项式环$k[X_\lambda]_{\lambda \in L}$。如果$k_0$是$k$中包含的素数域，则让$b$表示$k$超越$k_0$的超越基的基数，并让我们写成$c = \mathrm{Card}(L)$。

(a) 对于$A$的每个理想$a$，证明存在系统、生成元、$S$、$a$，使得$\mathrm{Card}(S) \leq c$。 （考虑$a$中的交和有限子集$J$中$L$的子环$k[X_\lambda]_{\lambda \in J}$。）

(b) 假设$c < b$。证明，如果 $m$ 是 $A$ 的极大理想，则 $A/m$ 是 $k$ 的代数扩张。 （令$K$为$k$的子域，由形成基数$\leq c$的$m$的生成元的系统的多项式系数在$k_0$上生成；令$m_0 = m \cap K[X_\lambda]_{\lambda \in L}$，使得$m = m_0 \otimes_K k$ 和

注最终存在$K[X_\lambda]_{\lambda \in L}/m_0$的分数的域到$k$的代数闭包的$K$同构。）推导出$A$是雅各布森环（使用习题） 8).

(c) 假设$b < c$；那么$\mathrm{Card}(k) \leq c$，因此$L$的子集$L'$存在双射$\lambda \mapsto \xi_\lambda$到$k$，$L'$在$L$有一个非空补集。让$\lambda_0 \in L - L'$；表明存在$A$的$k$同态$u$到有理函数$k(Y)$的域的子域，使得$u(X_{\lambda_0}) = Y$，

$\lambda \in L'$，$u(X_\lambda) = 0$ $\lambda \in L - (L' \cup \{\lambda_0\})$；如果$m$是$u$的核，则$A/m$不是$k$的代数扩张。

(d) 在与 (c) 相同的假设下，证明 $A$ 不是 Jacobson 环。 （注存在$k$-代数$B$，它们不是雅各布森环（对于例局部环），使得$\mathrm{Card}(B) = b$。）