习题 1, § 1

设$K$为域；对于$K$的每一个子环$A$，令$L(A)$表示局部环$A$、$A$的集合，其中$p$贯穿$A$的素理想（这些局部环被识别为子环 / $K$）。

(a) 对于$K$的本地子环$M$来支配环$A, \in L(A)$，$A \subset M$是充分必要的； 局部环 $A$，由$M$主导，那么是唯一的，并且对应到素理想$p = m(M) \cap A$。

(b) 令$M, N$为由$M \cup N$生成的$K$的两个局部子环和$K$的$P$子环。证明以下条件是等价的：

$(a)$ 存在$P$ 的素理想$p$，使得$m(M) = p \cap M, m(N) = p \cap N$。

$(\beta)$ $m(M) \cup m(N)$ 在$P$ 中生成的理想$a$ 与$P$ 不同。

$(\gamma)$ 存在$K$ 的本地子环 $Q$ 支配$M$ 和$N$。

如果满足这些条件，则$M$和$N$被称为*相关*。

(c) 令$A, B$为$K$的两个子环和$A \cup B$生成的$K$的$C$子环。证明以下条件是等价的：

$(a)$ 对于每个局部环 $Q \subset K$ 包含 $A$ 和 $B$、$A_1 = B_1$，其中 $p = m(Q) \cap A, q = m(Q) \cap B$。

$(\beta)$ 对于$C$、$A_r = B_r$ 的每个素理想$r$，其中$p = r \cap A, q = r \cap B$。

$(\gamma)$ 如果 $M \in L(A)$ 和 $N \in L(B)$ 相关，则它们是相同的。

$(\delta)$$L(A) \cap L(B) = L(C)$。

（使用（a）和（b））。