习题 1, § 10

设$\mathbf{K}$为域，P为$\mathbf{K}$的素数子域； K 的绝对维数为数 dim.al，如果 P 具有特征 $p > 0$，则为 K；如果 P 具有特征 0，则为数 dim.al_p K + 1。令 $v$ 为 $\mathbf{K}$ 的估值，命中高度，$r$ 其有理数秩且$k$是剩余类域。

(a) 假设$K$的绝对值维数$n$是有限的。那么，如果$s$是绝对的维数$k, r + s \leq n$。

(b) 进一步假设$K$是$P$的有限生成的扩张。那么，如果$r + s = n, k$是其素数域的有限生成的扩张，且$v$的阶群同构于$\mathbf{Z}^r$；如果$h + s = n, k$是其质数域的有限生成的扩张，并且$v$的阶群同构于按字典顺序排序的$\mathbf{Z}^r$；最后，如果 $s = n - 1, v$ 是离散估值，$k$ 是其素数域的有限生成的扩张。