Bourbaki

习题 2, § 2

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交换代数, VI, 444

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设K,K′K, K'为域kk的两个扩张，以及KK和K′K'的ff和f′f'，与值位于同一代数闭域LL。假设ff和f′f'中的限制到kk重合。证明存在 KK 和 K′K' 的复合扩张 (F,i,i′)(F, i, i') (代数, 章 VIII, § 8) 以及 FF 的gg 值在 LL 中，使得f(x)=g(i(x))f(x) = g(i(x)) 对应x∈Kx \in K，f′(x)=g(i′(x′))f'(x) = g(i'(x')) 对应x′∈K′x' \in K'。 （令V,V′V, V'为ff和f′f'的环，AA其公共的交以及kk和h:V⊗AV′→Lh : V \otimes_A V' \to L同态，使得h(a⊗a′)=f(a)f′(a′)h(a \otimes a') = f(a)f'(a')为a∈Va \in V，a′∈V′a' \in V'。利用VV和V′V'是平坦的AA模（§3§ 3，no. 5，引理 1），证明，如果a≠0a \neq 0，a′≠0a' \neq 0， a⊗a′=(a⊗1)(1⊗a′)a \otimes a' = (a \otimes 1)(1 \otimes a')不是零的除子；如果SS是这些元素的B=V⊗AV′B = V \otimes_A V'由……组成的乘法子集，

S^{-1}B 包含子域 K_1、K'_1 分别同构于 K 和 K'，由 K_1 \cup K'_1 生成环。证明，如果 q 是 h 的核，则 B 中存在素理想 p，使得 p \子集 q 且 p \cap S = \varnothing 并证明 F 可以视为 S^{-1}B/S^{-1}p 的分数的域。）

解答

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