习题 3, § 2

(a) 设 K 为域，f 为可排序域 L (代数, 章 VI, § 2, 习题 8) 中 K 与值的位置；证明 K 是可订购的。 （注，对于 K 的元素 (a_i)_{1 \leq i \leq n} 的有限族，总有指标 j 使得 f(a_i/a_j) \neq \infty 对于所有 i。）

如果$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$是K的元素的序列使得$f\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \neq \infty$，则对于所有i表明$f(x_i) \neq \infty$。

(b) 设 K 为 K 的有序域，G 子群；表明 K 的元素的环 F(G) 相对于 G 不是无限大（上文中，习题 11）是 K 的估值环，并且 F(G) 的元素的理想 I(G) 相对于 G 无限小，是这个的最大理想环；因此，在 K 上，k(G) = F(G)/I(G) 中存在值，其中约化对应于 G 上的恒等式；这称为 K 相对于 G 的规范位置。

(c) 证明，如果 K 中不存在与 G 不同且与 G 相当的 G 的扩张，则 k(G) 是 G 上的代数（注，如果 t \in K 不属于到 G，域 G(t) 包含元素 u \neq 0 无限小，且关于 G 并且 G(t) 是 G(u) 上的代数。