习题 4, § 2

如果对于 K 中的所有 x \geq 0，存在 y \in K 使得 x = y^2，则有序域 K 称为欧氏。

(a) 设 K 为 K 的欧氏有序域和 G 子域，使得 K 中不存在与 G 不同且可与 G 比较的 G 的扩张。证明，iff 是 K 与值在有序域 L 中的位置，这是一个代数G 的扩张，并约简到 G 上的恒等式，则 f 等价于 K 相对于 G 的规范位置。（f 可以被认为取其在极大有序域 N 中的值，它是 L 的代数扩张。观察到 G 是欧氏，并且如果 x \in G，y \in K 且 x < y，则 f(y) = \infty 或 f(y) > x。如果 A 和 p 为环且为理想位置，则依次证明 p \子集 I(G)、F(G) \子集 A、I(G) \子集 p 和 A \子集 F(G)，注意到 N 与 G 具有可比性。）

(b) 设 K 为欧氏有序域，f 是 K 的位置，极大有序域 L 中的值以及 A 和 p 环以及理想状态。令 G 为 K 的子域 E 中的最大子域，使得 E \cap p = 0。证明 G \子集 A 并且 G 在 K 中是代数闭的，因此欧氏。证明 K 中不存在包含与 G 不同且可与 G 比较的 G 的扩张。此外，由 f(A) 生成的 L 的子域是 f(G) 上的代数，因此 f 相当于 K 相对于 G 的规范位置。

(c) 令 K 为极大有序域，L K 的最大有序子域，与 K 不同，并且使得 K 与 L (代数，章 VI, § 2，习题 15) 相当。证明 K 中不存在位置 f，其中 L 中的值约简到 L 上的恒等式自同构。