习题 5, § 3

令$k$为有理函数的域和$K = k(X, Y)$域在$k$上的两个不定式。我们将 K 的 $x_1 = X, y_1 = Y$ 和 $n \geq 1$ 定义归纳为元素 $x_n + , y_n$ 和 $y_n + , = x_n y_n^{-1}$。 (a) 写出$A_n = k[x_n, y_n]$； 序列 $(A_n)$ 是递增并且，如果

$m_n$是A的极大理想，$m_n = A_n \cap m_{n+1}$；在环 $A = \bigcap_n A_n$ 中，$m = \bigcap_n m_n$ 是极大理想。 (b) 令$v$为由$v(X) = \rho = (1 + \sqrt{5})/2$、$v(Y) = 1$定义的K的估值；设 B 和 p 为环，理想值为$v$；显示 $m = p \cap A$（注 $\rho^2 - \rho - 1 = 0$ 并使用这个事实来计算 $v(y_n)$）。证明对于 A 的单项式 $X^i Y^j$（$i, j$ 正或负整数）到属于，$\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^i + j > 0$ 是充分必要的；因此，对于每个单项式 $z = X^i Y^j$，要么是$z \in A$，要么是$1/z \in A$。 (c) 显示$B = A_m$（在X和Y中的两个多项式的商形式中写入元素$t \in B$，并在其中每个项中显示$v$取最小值的单项式）。 (d) 证明，对于所有 $n$，$(A_{n+1})_{m_{n+1}}$ 是 $(A_n)_{m_n}$ 在 $v$ (习题 4) 方向上的素数二次方变换。