习题 2, § 4

令 G 为全序群。 (a) 对于 G 的每个元素 $a > 0$，令 $H(a)$ 最小的孤立子群包含 $a$，$H^-(a)$ 最大的孤立子群而不是包含 $a$；证明$H(a)/H^-(a)$同构于$\mathbf{R}$的子群。

(b) 相反，如果 H 是 G 的孤立子群，使得 H 和$\neq H$ 中包含的$G$ 的孤立子群的集合中存在最大元素（相对于包含）$H'$，则$H = H(a)$ 和$H' = H^-(a)$ 对于所有$a \in H_+ \cap CH'_+$。这样一个孤立的子群 H 称为本金，$H'$ 称为其前身。

(c) 如果$H_1, H_2$是$G$的两个不同的孤立的子群，使得$H_1 \subset H_2$，则表明存在$G$的两个孤立的子群$H, H'$，使得$H_1 \subset H' \subset H \subset H_2$和$H/H'$同构于非零子群共 $\mathbf{R}$。

(d) 设$\Sigma$为$G$的孤立子群的集合（关于包含的全序），并令$\Theta \subset \Sigma$为孤立主子群的集合。证明$\Sigma$同构于$O$的完备性（集合理论，章III, § 1，习题15）。