习题 1, § 5

设 A 为整环，K 为分数的域，$\mathscr{T}$ 为 A 上的线性拓扑（章 111、§ 2、习题 21）。

(a) 对于$\mathscr{T}$下0的邻域构成0的邻域的基本系统，对于与K上的环结构兼容的某些拓扑$\mathscr{T}_K$，$\mathscr{T}$是拓扑$\mathscr{T}_u(A)$是必要且充分的（章III, § 2，习题24）；则 A 是相对于 $\mathscr{T}_K$ 有界子集，$\mathscr{T}_K$ 是局部有界 Hausdorff 拓扑（一般拓扑、章 111、§ 6、习题 12 和 20 (e)）。为了使 K 与 $\mathscr{T}_K$ 完备（分别是线性紧致、严格线性紧致（章 111、§ 2、习题 21）），A 与 $\mathscr{T}$ 也是完备的。

(b) 为了使拓扑$\mathscr{T}_K$（其中$\mathscr{T} = \mathscr{T}_u(A)$）与K上的域结构兼容，A的雅各布森根式$\mathfrak{R}(A)$为$\neq 0$是必要且充分的。