习题 6, § 5

(a) 令 A 为 M 的估值环、M A-模和 M' 子模。证明，对于 M' 是 M 的纯子模 (章 I, § 2，习题 24)，对于所有 $a \in A$，$M' \cap (\alpha M) = \alpha M'$ 是充分必要的。

(b) 令 M' 为 M 的纯子模，这样，如果 M' 给定拓扑，其中 $\alpha M'$（其中 $a \in A, a \neq 0$）形式为 0 的邻域的基本系统，则 M' 是线性紧致的。证明对于每个元素$x \in M$，都存在$y' \in M'$，使得$x' = x + y'$有以下性质：对于所有$a \in A$，使得$x + M' \in \alpha(M/M')$，$x' \in \alpha M$。 （对于每个$a \in A$使得$x + M' \in \alpha(M/M')$，考虑$y'_\alpha$的M'由……组成的子集S，使得$x + y'_\alpha \in \alpha M$。）

(c) 假设 A 是线性紧凑估值环；令 K 为 A 的分数的域。证明，如果 M 是无扭转 A 模，使得 $M_{(K)}$ 承认可数基，则 M 是秩 1 的 A-模可数族中的直和。（将 M 视为并纯子模的递增序列$(M'_i)$，使得$M'_i$为秩i，并且对于每个i，将(b)应用于$M'_i$及其子模$M'_{i-1}$。

(d) 与 (c) 中对 A 和 M 的假设相同，令 N 为有限秩的 M 的纯子模。证明 N 是 M 的直因子（观察秩 1 的A-模的有限数的直和的每个A-模都是线性紧致的，并使用 (b)）。

(e) 使用与 (b) 中相同的 M 和 M' 假设，证明对于所有 $x \in M$，都存在 $y' \in M'$，使得 $x' = x + y'$ 的湮没子等于元素 $x + M' \in M/M'$ 的湮没子。 （令 a 为 $x + M'$ 的湮没子；对于所有 $a \in a$，令 T 为它们的 M' 由……组成的子集，使得 $a(x + y') = 0$；证明 T 的交非空。）

(f) 假设 A 是一个估值环，使得对于每个理想 $a \neq 0$ A-模 A/a 都是线性紧凑的（具有离散的拓扑）。证明每个有限生成的挠元 A-模 M 都是单生 A-模的有限数的直和。 （如果$(z_i)_{1 \leq i \leq n}$是M的生成元的系统，则通过归纳对n进行论证，考虑湮没子最小的$z_i$之一，并注意M的子模，其中生成是纯的。）