习题 1, § 6

p-adic 域 $\mathbf{Q}_p$（$p$素数数）的每个元素 z 可以唯一地写为 $p^h \sum_{k=0}^{\infty} c_k p^k$，其中 $h \in \mathbf{Z}$、$c_0 \neq 0$、$0 \leq c_k < p$ 对于所有 $k \geq 0$（“p-adic z) 的展开"。

(a) 证明，在阶和 $z \in \mathbf{Q}$ 中，存在两个整数 $m \geq 0,\ n \geq 1$ 使得$c_{k+n} = c_k$ 对于所有 $k \geq m$ 是充分必要的。 （观察一下，如果 $z = a/b \in \mathbf{Q}$ 其中 $b$ 不能被 $p$整除，那么

其中 $a_{n+1}$ 是整数并且序列 $|a_k|$（普通绝对值）是有界的。）

(b) 假设整数$k$中的递增序列$(k_n)$使得$c_k \neq 0$使得$\limsup_{n \to m} (k_{n+1}/k_n) = +\infty$。证明$z$超越$\mathbf{Q}$。 （对于$x \in \mathbf{Q}$，让$|x|$和$|x|_p$分别表示通常的绝对值和$p$进绝对值。假设$P \in \mathbf{Z}[X]$是一个不可约多项式，使得$P(z) = 0$；如果$z_n = p^n \sum_{k=0}^\infty c_k p^k$，则表明$|P(z_n)/(z - z_n)|_p$趋于极限$\neq 0$，因为$n$趋于$+\infty$，使用泰勒公式；然后考虑通常的绝对值值$|P(z_n)|$，从假设获得矛盾。）