习题 13, § 8

(a) 令 K 为域和 $v$ 对 K 的非不当估值。令 E 为集合，通过超滤波器 $\mathscr{U}$ 和 $\xi \mapsto x_\xi, \xi \mapsto y_\xi$ 将 E 到 K 的两个映射与拓扑 $\mathscr{T}_v$ 进行过滤。证明，如果映射 $\xi \mapsto x_\xi y_\xi$ 在 K 中相对于 $\mathscr{U}$ 收敛到 0，则映射 $\xi \mapsto x_\xi, \xi \mapsto y_\xi$ 之一也收敛到 0。 （观察到，如果$\xi \mapsto x_\xi$没有相对于$\mathfrak{U}$的簇点，则映射$z \mapsto x_\xi^{-1}$以U的子集为界。）

(b) 令 $f$ 为 $K[X]$ 中的非常数多项式。证明，如果$\xi \in f(\mathbf{K})$在$K$中相对于$\mathfrak{U}$收敛于0，$\xi \mapsto x_\xi$在$\hat{K}$中收敛（在$K$的代数扩张中将$f$分解为因子并使用(a)）。

(c) 假设 $K$ 在$\hat{K}$ 中是代数封闭的。那么 $K$ 的映射 $x \mapsto f(x)$ 对其自身是闭集（使用 (b)）。推出，如果$g$是$K(X)$中的有理函数，并且$B$是$K$的有界闭子集，则$g(B - P)$（其中$P$是$g$极点的集合） $B$）于$K$关闭。

(d) 假设$K$的代数闭包是$K$的根式扩张。然后证明 $\hat{K}$ 是代数闭的。 （将 (b) 应用于 $\hat{K}$ 的代数闭包和多项式 $f \in \hat{K}[X]$；也可使用习题 12 (a)。）