习题 21, § 8

令 K 为域，$v$ K 的离散估值，$v$ 的 A 环，$\pi$ $v$ 的均匀化器以及$v$ 的 k 剩余类域。

(a) 设 P、R 为 $A[X]$ 中的两个多项式，P 为单次多项式，并假设： (1) $\deg(R) < h \cdot \deg(P)$，其中$h \geq 1$为整数； (2) $k[X]$ 中 P 的典范像 $\overline{P}$ 不可约。然后证明，如果多项式 $Q = P^h + \pi R$ 在 $\mathbf{K}[X]$ 中可约化，则 R 在 $k[X]$ 中必然有 $h > 1$ 和 $\overline{P}$ 除典范像 $\overline{R}$。推出，对于给定的一元不可约多项式$r(X) \in k[X]$和给定的整数$h \geq 1$，存在一个可分离的不可约多项式$Q \in A[X]$，使得其典范像$\overline{Q}$等于$r^h$。

(b) 设$k' = k(\alpha)$为次数m和$h$整数$\geq 1$的k的代数扩张。证明存在次数 $hm$ 的 K 的代数扩张 L，使得在 L 延伸 $v$ 上仅存在单一估值 $v'$（最多等价），即 $e(v'/v) = h, f(v'/v) = m$ 并且$v'$的剩余类域与$k'$同构的（使用（a））。