习题 2, § 9

(a) 在空间$\mathbf{R}^n$($n \geq 2$)中，令U为非空开集合且具有非空补；证明 U 包含的边界是一个非空完美集合（cf. 一般拓扑、章 I, § 9、习题 17）。

(b) 从 (a) 推导出，如果 A 是 $\mathbf{R}^n$ 的处处稠密子集，且满足 $\mathbf{R}^n$ 中的所有完美集合，则 A 是凸的。

(c) 证明$\mathbf{C}$中存在一个处处稠密子域 K，它是连通且局部连通的，并且是$\mathbf{Q}$的纯超越扩张（应用一般拓扑、章IX, § 5、习题 18 (b) 和 (c)，通过以下方式构造 K 超限归纳，使用集合理论中描述的(b)和方法，章III, § 6，习题24)。推出$\mathbf{C}$存在子域$K' \supseteq K$，它与$\mathbf{R}$（代数上）同构的，连通且局部连通。

(d) Show, using (c), that there exists on $\mathbf{C}$ the topology of a connected and locally connected space, which is compatible with the field structure and for which the completion of $\mathbf{C}$ is an algebra over $\mathbf{C}$ which is the direct composition of two fields isomorphic to $\mathbf{C}$.