习题 9, § 1

(a) Let $B$ be a discrete valuation ring, $A = B[[X]]$ the ring of formal power series in one indeterminate over $B$ and $C = A$, the ring of fractions $S^{-1}A$, where $S$ is the multiplicative set of $X^h \ (h \geq 0)$. 令$v$为$B$的标准化估值；对于$C$中的每个元素$f = \sum_{n \geq h} b_n X^n \neq 0$以及$B$中的$b_h \neq 0$（$h$正或负），我们写$s(f) = v(b_h)$。 证明$s$是$C$上的*欧氏 stathm*（*代数*，章VII, § 1，习题7），使得$s(fg) = s(f) + s(g)$对于$C$中的非零$f, g$。 （如果$s(f) = p \geq s(g) = q$和$h$是$f$中项$\neq 0$的次数中最小的，则表明存在$u \in C$使得$f - ug = X^{h+1}f_1$其中$f_1 \in C$，并通过*归谬法*论证推论出存在$C$中“欧几里得除法”的过程。）如果$s(f) = 0$，则$f$在$C$中可逆。

证明 $A$ 不是 Dedekind 域。

(b) 由(a)推导出，如果$B$是Krull域，则$A = B[[X]]$也是Krull域。 (如果$K$是$B$分数域，$A$是$K[[X]]$的交和主理想整环的注与分数相同的域为$A$ 并且 $A$ 的每个元素在几乎所有 $C_i$ 中都是可逆的。）