习题 10, § 2

令$A$为环，其中每个理想都是素理想的乘积。 (a) 证明，对于 $A$ 的每个素理想 $p$，$A/p$ 都是戴德金域 (习题 9)。 (b) 证明$A$的最小素理想$p_i$的集合是有限的（将$O$分解为素理想乘积）。 (c) 假设$A/p_i$不是域。证明，如果$y \in p_i$，那么对于所有$x \in A - p_i$，存在$z \in p_i$使得$y = zx$。 （将$A$分解视为$Ax$和$Ax + Ay$的素理想的乘积以及$A/p_i$中的相应的分解。）推断出，对于所有非零$y \in p_i$，$Ay = p_i$ （考虑$p_i/Ay$，将$Ay$分解为素理想的乘积）；最后证明$p_i = p_i^2$，因此$p_i$中存在幂等$e_i$，使得$p_i = Ae_i$（cf.章II, § 4，习题15）。那么$A$是环$Ae$的直接合成，而环$A(1 - e_i)$，同构于戴德金域$A/p_i$。 (d) 现在假设所有$p_i$都是最大的，因此$A$是形式$A/p_i^{n_i}$的环的直接合成（章II, § 1，no，2，命题5），因此我们可以限制我们的注意力$A$ 为初等或$A$ 的唯一素理想$p$ 幂零的情况。证明在这种情况下假设意味着$A$是主理想环（代数、章VII, § 1、习题5和6）。 (e) 结论由 (c) 和 (d) 得出，$A$ 是有限戴德金域数和主理想环的乘积。