习题 12, § 2

令$A$为整环，$K$为分数的域。证明以下性质是等价的： (a) 对于$A$的每个素理想$p$，局部环$A_p$的估值为环。 (b) 对于 $A$ 的每个最大理想 $m$，局部环 $A_m$ 是一个估值环。

(y) $\mathbf{A}$ 中的每个有限生成的理想 $\neq 0$ 都是可逆的（因此有限生成的分数理想 $\neq 0$ 形式群）。

(6) 每个无扭有限生成的 $\mathbf{A}$ 模都是射影的。

(E) 对于所有 $x \in K$，分数理想 $\mathbf{A} + \mathbf{A}x$ 是可逆的。

($\zeta$) 对于$K$中的所有$x \neq 0$，存在$y \in K$使得$y \equiv 0 \pmod{1}$、$y \equiv 0 \pmod{x}$和$y \equiv 1 \pmod{1-x}$。

($\eta$) 如果$(a_i)$是$A$的有限理想族，对于同余$x \equiv c_i \pmod{a_i}$的系统有解，$c_i \equiv c_j \pmod{(a_i + a_j)}$对于指标的每个对是充分必要的$i, j$（“汉语余数定理”）。

($\theta$) 如果$a, b, c$是$\mathbf{A}$的三个理想，则$a \cap (b + c) = a \cap b + a \cap c$。

(t) 如果$a, b, c$是$\mathbf{A}$的三个理想，则$a + (b \cap c) = (a + b) \cap (a + c)$。

(x) $\mathbf{A}$ 是积分闭的，并且 $\mathbf{A}$ 的每个有限生成理想都是除数。

($\lambda$)$\mathbf{A}$是整体闭的，对于$K$中的$z \neq 0$，$\mathbf{A}$中存在$x, y$，使得$z = x + yz^2$。

(p) $\mathbf{A}$ 是积分闭的，如果 $a, b, c$ 是三个有限生成的分数理想 $\neq 0$，则关系 $ab = ac$ 意味着 $b = c$。

(v) 对于每个有限生成的$\mathbf{A}$-模块$M$，$M$的挠元子模是$M$的直因子。

($\sigma$) 每个环$B$使得$\mathbf{A} \subset B \subset K$是一个积分闭域。

那么 $\mathbf{A}$ 称为 Prüferian 域（或 Prüfer 域）。

（要证明 ($a$)、($\beta$)、(y) 和 ($\delta$) 的等价，请使用章 II, § 5, no. 2、定理 1 和 no. 6、定理 4。 为了证明 ($E$) 蕴含 (y)，请在整环中的三个分数理想之间使用恒等式 $(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca)$。 为了证明($\zeta$)蕴含($\eta$)，请通过归纳对$a_i$的数进行论证。 (q)、(l)和(t)的等价已在代数、章、VI, § 1、习题25中示出。 通过注意到 ($\lambda$) 蕴涵关系来证明 (A) 蕴含 ($E$)

利用习题 6 (b) of § 1 并注意到

为了证明 (p) 蕴含 (A)，注意到总是

证明 (x) 蕴含 ($\lambda$)，注意每个包含 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A}z^2$ 的分数主理想 $\mathbf{A}$ 也包含包含 $\mathbf{A}z$。为了证明 (v) 蕴含 (y)，请考虑对于 $\mathbf{A}$ 的有限生成积分理想 $a \neq 0$，非零元素 $c \in a(A : a)$，并将 § 1 的习题 32 应用于理想 $b = ca$。为了证明 ($s$) 蕴涵 ($\beta$)，约化对于 $\mathbf{A}$ 是局部环的情况，考虑元素 $z \in K - \mathbf{A}$ 并证明 $z^{-1} \in \mathbf{A}$，注意假设蕴涵$z \in \mathbf{A}[z^2]$。