习题 13, § 2

(a) 在Priiferian域A中，令$a, b$为两个有限生成的理想；表明，如果$b \notin a$，则存在有限生成的理想$c$，使得$a \subset c$、$a \neq c$和$bc \subset a$（考虑理想$a + b$）。

(b) 从(a)推导出，如果$a$是Priiferian域A中的有限生成理想，则在环$A/a$中，零中不是除子的每个元素都是可逆的。特别是，如果不能是最大的，则它是有限生成的。

(c) 证明在 Priiferian 域 A 中，两个素理想 $p, p'$ 互不包含在另一个中，互素（考虑，对于 A 的每个最大理想 $m$，理想 $pA_m + p'A_m$）。

(d) 在 Priiferian 域 A 中，令 $a$ 为有限生成的理想。为了使$a$是原始的（章IV, § 2，习题33），$a$仅包含在A的单个最大理想中是必要且充分的（使用（b））； $a$ 是不可约的和准素数（章 IV, § 2，习题 34），因此，对于有限生成的理想，这三个概念重合。对于 $a$ 来说，它是主要的，它只包含在单个素理想（必须是最大的）$m$ 中是必要且充分的；要使 $a$ 成为强主要的（章 IV, § 2、习题 27），$mA_m$ 也是主要的也是充分必要的。