习题 17, § 2

设A为整环。

(a) 要使$A$成为贝祖特式（$§ 1$，习题20），它是普利弗式和伪贝祖特式（$§ 1$，习题21）是必要且充分的。

(b) 要使$A$成为戴德金域，它是Priiferian Krull域是充分必要的（证明$A$的每个除数理想都是有限生成的，利用习题 12(x)和$§ 1$，习题 11 (a)；推论出每个素理想$\neq 0$ $A$ 是最大的 (习题 13(b))，那么 $A$ 的每个素理想都是有限生成的，并且结论借助章 II、$§ 1$、习题 6)。

(c) 对于 $A$ 来说，要成为 Dedekind 域，它是 Priiferian 域并且是强 Laskerian 域是充分必要的（章 IV、$§ 2$、习题 28）。 （观察到，如果 $A$ 是普鲁弗式且强拉斯克式，$A$ 的每个最大理想 $m$ 都使得 $A_m$ 是离散值环 (章 VI, $§ 3$, 习题 8)，那么对于所有非零$x \in A$存在乘积的最大理想$A$的有限数包含在理想$Ax$和结论中，$A$是克鲁尔域。）