习题 5, § 2

(a) 设$k$为域，$K$域$k(X, Y)$有理函数在两个不定中的$k$和$A$多项式环$K[Z]$在一个不定中，即主理想整环。设$L$为$k(X, Y, Z)$的子域$k(Z, X + YZ)$；证明$A \cap L$不是戴德金域（证明环中存在非极大值的素理想和$\neq 0$）。

(b) 设 $A$ 为戴德金域，它不是主理想整环，并且理想的类群 $C(A)$ 是有限的 \* ($\mathbf{Q}$ 的有限代数扩张的整数的环具有后者性质）。 \* 设$(a_i)_{i=1}^s$为分数理想$\neq 0$模子群的分数理想群$I(A)$的代表系统，$A$积分理想的由……组成，并令$p_i$（$1 \leq i \leq s$）为素数理想除以至少一个$a_i$。 令$S$（或$T$）表示元素$x \in \mathbf{A}$的乘法集合，使得$v_{p_i}(x) = 0$对于所有$i$（分别对于1的由……组成和$x \in \mathbf{A}$，使得$v_q(x) = 0$对于所有素理想对于所有 $i$，$q$ 与 $p_i$ 和 $v_{p_i}(x) \geq 1$ 不同；假设意味着 $T$ 不会减少到 1）。 证明 $S^{-1}\mathbf{A}$ 和 $T^{-1}\mathbf{A}$ 是主理想整环以及 $\mathbf{A} = (S^{-1}\mathbf{A}) \cap (T^{-1}\mathbf{A})$。