习题 1, § 3

对于整环是阶乘，存在$\mathbf{A} - \{0\}$到$\mathbf{N}$的映射$x \mapsto s(x)$是必要且充分的，使得$s(xy) = s(x) + s(y)$，关系$s(x) = 0$意味着$x$在$\mathbf{A}$中可逆，最后，对于任何两个$\mathbf{A} - \{0\}$的元素$x, y$，其中除都不是另一个，存在$\mathbf{A} - \{0\}$的元素$a, b, z, t$，使得$ax + by = zt, s(z) < s(x)$，$t$与$x$和玩具互质。 （如果满足条件，首先证明$\mathbf{A}$的每个非零元素是极值元素的乘积，然后证明对于每个极值元素$p, Ap$都是素理想；结论借助定理 1 (d))。