习题 17, § 3

(a) 设 A 为整环；证明在环 $A[X_{ij}]$ 中，$(X_{ij})$ 是$n^2$ 不定数$(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n)$ 的族，元素 $\det(X_{ij})$ 是极值。 （约化适用于 A 为域的情况；观察$\det(X_{ij})$的因子必然是齐次多项式，并通过归纳对n进行论证） (b) 令K为无穷大域，F为$K[Y_1, \ldots, Y_m]$中的多项式，也可写为$F(Y)$；对于阶 m 的每个平方矩阵 $s = (\alpha_{ij})$，K 中包含元素，令$F(s, Y)$ 表示多项式 F，其中元素 $\sum_{j=1}^m \alpha_{ij} Y_j$ 已替换为每个 $Y_j$。证明，如果 F 是极值，则对于每个可逆矩阵 s，$F(s, Y)$ 也是极值。如果存在整数 $k \geq 0$ 使得

对于每个可逆矩阵 s，F 在每个 $Y_j$ 中必然是齐次的；

此外，如果$F = GH$，其中G和H是$K[Y_1, \ldots, Y_m]$中的两个多项式，则存在两个整数$p$和$q$，使得$p + q = k$和

对于每个可逆矩阵 $s$（使用 (a)）。

(c) 令 A 为环，它不会减少到 0；考虑多项式环$A[X_{ij}]$，其中$X_{ij}$是$n(n+1)/2$（分别是$2n(2n-1)/2$）与$1 \leq i \leq j \leq n$（分别是$1 \leq i < j \leq 2n$）不确定；令 $U = (\xi_{ij})$（分别为 $V = (\eta_{ij})$）为阶 n（分别为 $2n$）与 $A[X_{ij}]$ 的平方矩阵，使得 $\xi_{ij} = X_{ij}$ 为 $1 \leq i \leq j \leq n$，$\xi_{ij} = X_{ji}$ 为$i > j$（$1 \leq i \leq 2n$对应$\eta_{ii} = 0$，$1 \leq i < j \leq 2n$对应$\eta_{ij} = X_{ij}$，$\eta_{ij} = -X_{ji}$对应$i > j$）。证明$\det(U)$（或$\mathrm{Pf}(V)$）是$A[X_{ij}]$中的极值元素（如(b)中所述，考虑$\det(s \cdot U \cdot t_s)$和$\mathrm{Pf}(s \cdot V \cdot t_s)$）。