习题 2, § 3

(a) 设$\mathbf{A}$为子环的右向族$(\mathbf{A}_\lambda)$的整环、并。假设每个 $\mathbf{A}_\lambda$ 都是阶乘，并且如果 $\lambda \leq \mu$，则 $\mathbf{A}_\lambda$ 的每个极值元素都是 $\mathbf{A}_\mu$ 中的极值。证明$\mathbf{A}$是一个阶乘域，其极值元素的集合是每个$\mathbf{A}_\lambda$的极值元素的集合的并（cf.§ 2，习题19） (e))。

(b) 从 (a) 推导出，对于每个阶乘域 $\mathbf{A}$，任何不定族中的多项式域 $\mathbf{A}[X_\lambda]_{\lambda \in L}$ 都是阶乘的。

(c) 令 $\mathbf{A}$ 为阶乘域，使得有限数不定数中形式幂级数 $\mathbf{A}[[X_1, \ldots, X_n]]$ 的每个域都是阶乘的。证明任何不定族中形式幂级数 $\mathbf{A}[[X_\lambda]]_{\lambda \in L}$ 的每个域（代数、章 IV, § 5、习题 1）都是阶乘（相同方法）。