习题 22, § 3

(a) 设$k$为有序域，$A$为多项式环$k[X, Y, Z]$除以主理想$(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$的商；让$x, y, z$表示$A$中$X, Y, Z$的典范像。证明$A$是阶乘域（考虑分数$A_{z-1}$的环（章11、§ 5, no. 1的记号），使用no. 4、命题3）。

(b) 设$(e_i)_{1 \leq i \leq 3}$为$A^3$的典范基，并令$M$为由$xe, + ye, + te,;$生成的单生子A模$N$对$A^3$的商，表明$M$是射影$A$模（形式 $A^3$ 中$N$ 的补充子模）。

(c) 证明，如果$k = \mathbf{R}$，则$A$-模$M$不是自由的（认同$M$与向量到单位的纤维束切线的连续截面的模的子模）球体并利用以下事实：在球体的每个点处不存在连续的向量 $\neq 0$ 切线域）。 \*